这本是一个黑色的段子,其中也有不少辛酸和苦楚,不妨换个更有艺术感的话题。

从一架钢琴挑出的7个音键中,分别选择3个,4个,5个,6个,7个键同时按下,可发出和声,若有一个音键不同,则发出不同的和声,则这样的不同和声数为____ ?

【分析】共有5种不同的类型,当有3个键同时按下,有$ C_7^3 $种结果,…以此类推,根据分类计数原理得到共有的结果数。

【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题,共有5种不同的类型:

  1. 当有3个键同时按下,有$ C_7^3 $种结果;
  2. 当有4个键同时按下,有$ C_7^4 $种结果;
  3. 当有5个键同时按下,有$ C_7^5 $种结果;
  4. 当有6个键同时按下,有$ C_7^6 $种结果;
  5. 当有7个键同时按下,有$ C_7^7 $种结果。

根据分类计数原理得到共有:

$
C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 99
$

$
C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 - C_7^2 - C_7^1 - C_7^0 = 128 - 21 - 7 - 1=99
$

故答案为:99。

【延伸】计算公式:

设 m ≥ n

组合:$ C_m^n = m(m-1)(m-2)\ldots(m-n+1) / n! $

排列:$ A_m^n = m(m-1)(m-2)\ldots(m-n+1) = m!/ (m-n)! $

最后修改:2023 年 11 月 09 日
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